解题---(7) 设空间曲面 S: z = h, x² + y² ≤ h², 上侧为正侧。 计算: $\iint_{S} (y^2 - z)dydz + (z^2 - x)dzdx + x^2 dxdy$. 提示 S 平行于 xOy 平面，因此与 yOz 平面、 zOx 平面垂直

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我们需要计算一个曲面积分。曲面S是平面z等于h上的圆盘，半径为h。这是一个平行于xOy平面的圆形区域，法向量指向正z方向。 由于曲面S平行于xOy平面，它在yOz平面和zOx平面上的投影面积都为零。这是解题的关键观察，意味着积分中的前两项都等于零。 积分简化为只计算x²在xOy平面上的投影。使用极坐标变换，x等于r乘以cos θ，积分区域变为0到h的径向积分和0到2π的角度积分。 计算径向积分得到h的四次方除以4，角度积分中cos²θ的积分等于π。因此最终答案是π乘以h的四次方再除以4。 将曲面积分写成向量场的通量形式。向量场F的三个分量分别是y²减z、z²减x和x²。曲面的法向量指向正z方向。计算向量场与法向量的点积，得到x²。 将积分区域从直角坐标转换为极坐标。在极坐标系中，x等于r乘以cos θ，y等于r乘以sin θ，面积元素dxdy变为r乘以dr乘以dθ。积分区域变为0到h的径向范围和0到2π的角度范围。 分离变量后分别计算两个积分。径向积分r³从0到h得到h⁴除以4。角度积分cos²θ从0到2π等于π。两个结果相乘得到最终答案：π乘以h⁴除以4。 总结一下解题的关键步骤：首先识别曲面平行于坐标平面的性质，然后转化为向量场通量，利用法向量简化表达式，使用极坐标变换，最后分离变量计算。最终答案是π乘以h的四次方除以4。这种方法适用于所有平行于坐标平面的曲面积分问题。