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函数的单调性是描述函数值随自变量变化趋势的重要概念。在函数的定义域内，对于任意两个自变量x1和x2，当x1小于x2时，如果f(x1)小于f(x2)，则函数在该区间上单调递增；如果f(x1)大于f(x2)，则函数在该区间上单调递减。图中展示了一个单调递增函数的例子。
利用定义法证明函数单调性有五个基本步骤。首先确定函数的定义域或讨论区间，然后在区间内任意选取两个自变量x1和x2，且x1小于x2。接下来计算函数值的差f(x2)减去f(x1)，通过代数变形判断这个差值的符号。最后根据差值的符号得出单调性结论：若差值大于零则函数单调递增，若差值小于零则函数单调递减。
现在我们通过一个具体例题来演示定义法证明单调性的完整过程。证明函数f(x)等于x的平方在区间零到正无穷上单调递增。首先确定讨论区间为零到正无穷，然后设零小于等于x1小于x2。接下来计算f(x2)减去f(x1)等于x2的平方减去x1的平方，通过因式分解得到x2减x1乘以x2加x1。由于x2大于x1且都大于等于零，所以两个因子都大于零，因此差值大于零，函数在该区间上单调递增。
我们再看另一个例题，证明函数f(x)等于1除以x在区间零到正无穷上单调递减。首先确定函数定义域为负无穷到零并上零到正无穷，讨论区间为零到正无穷。设零小于x1小于x2，计算f(x2)减去f(x1)等于1除以x2减去1除以x1，通分得到x1减x2除以x1乘x2。由于x2大于x1大于零，所以分子x1减x2小于零，分母x1乘x2大于零，因此整个分式小于零，所以函数在该区间上单调递减。
通过前面的学习，我们掌握了用定义法证明函数单调性的完整方法。定义法证明单调性有五个关键要点：严格按照步骤进行，正确设定x1小于x2的关系，准确计算函数值的差，通过代数变形判断符号，最后根据符号得出结论。定义法适用于各种函数类型，包括多项式函数、分式函数、根式函数和复合函数等。掌握定义法是学习函数单调性的基础，为后续学习导数法奠定坚实基础。