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欧几里德在《几何原本》卷四命题6中，给出了在已知圆内作正四边形的严格证明。这个问题要求我们在给定的圆内，构造一个四边相等、四角都是直角的正方形。欧几里德的方法基于作图和几何推理，体现了古典几何学的严谨性。
欧几里德的作图方法分为三个步骤。首先，给定一个圆。然后，在圆心处作两条互相垂直的直径，设为AC和BD。最后，连接这两条直径的四个端点A、B、C、D，形成四边形ABCD。这个作图过程使用了基本的几何工具：圆规和直尺。
现在开始证明四边相等。首先，OA、OB、OC、OD都是圆的半径，因此它们长度相等。其次，由于两条直径互相垂直，圆心处的四个角都是90度。考虑四个三角形：三角形AOB、BOC、COD、DOA。根据边角边全等判定，这四个三角形全等，因为它们都有两条相等的边和夹着的直角。由于三角形全等，对应边也相等，所以AB等于BC等于CD等于DA。
接下来证明四个角都是直角。在等腰三角形AOB中，OA等于OB，顶角AOB是90度，因此底角OAB和OBA都是45度。同样地，在其他三个等腰三角形中，底角也都是45度。四边形的每个角由两个相邻的底角组成。例如，角ABC等于角OBA加上角OBC，即45度加45度等于90度。同理可证其他三个角也都是90度。
至此，我们完成了欧几里德《几何原本》卷四命题6的完整证明。我们已经证明了四边形ABCD的四条边相等，四个角都是直角，因此它是一个正四边形，即正方形。这个证明展示了欧几里德几何学的严谨性和逻辑性，仅使用基本的几何公理和定理，就能得出确凿的结论。这种方法至今仍是几何学教学和研究的重要基础。