讲解图片中题目---Here is the extraction of the content from the image: **5. 万唯原创 问题提出** **(1) 问题探究** 如图①, 在正方形 ABCD 中, E 为 BC 上一点, F 为 CD 上一点, 且 BE=CF, 连接 AE, BF, 则 AE 和 BF 的关系是 AE=BF 且 AE⊥BF; **(2) 问题解决** 如图②, 在等边△ABC 中, AB=4, D 为 BC 的中点, 连接 AD, P 为 AD 上一动点, 连接 BP, 则 2BP+AP 的最小值为 4√3; **(3) 问题解决** 如图③为一工厂矩形支架, 其曲线段均由一般金属材料构成, 已知 AB=4 m, AD=4√3 m, 点 P 在直线 AB 上, 点 Q 在边 BC 上, 连接 AQ, DP 交于点 M, AP 的长始终为 BQ 的√3倍, E 为 DQ 的中点, 为保证安全现需对其进行改造, 需在 BQ 和 ME 处再进行加固, 若 ME 段加固费用均为每米 400 元, BQ 段加固费用均为每米 100 元, 为使其花费金额最小, 请问应将点 Q 设置在何处? 求出此时 BQ 长度以及此时的最小费用. (本题涉及微专题见本书 P129) **Figures:** 图① 图② 图③ 第 5 题图 **Additional Information:** 几何画板动态演示 线段问题2

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这是一道综合性几何题，包含三个递进的问题。第一部分探究正方形中特殊线段的关系，第二部分涉及等边三角形的最值问题，第三部分是实际应用中的优化问题。这类题目考查学生对几何性质的理解和应用能力。 第一个问题探究正方形中的几何关系。在正方形ABCD中，当E在BC上，F在CD上，且BE等于CF时，连接AE和BF会发现一个重要性质：这两条线段不仅长度相等，而且互相垂直。这个结论可以通过证明三角形ABE与三角形BCF全等来得到，利用正方形的边长相等和直角性质。 第二个问题是等边三角形中的最值问题。在边长为4的等边三角形ABC中，D是BC的中点，P是AD上的动点。要求2BP加AP的最小值。这类问题的关键是利用几何变换，比如将点B绕某点旋转，使得2BP转化为其他线段，然后利用两点间线段最短的原理求解。最终答案是4倍根号3。 第三个问题是实际应用中的优化问题。在矩形支架中，已知AB等于4米，AD等于4倍根号3米。点P在直线AB上，点Q在边BC上，且AP长度始终是BQ长度的根号3倍。需要在BQ段和ME段进行加固，费用分别是每米100元和400元。要求确定Q点位置使总费用最小。这需要建立几何关系，构建费用函数并求最值。 通过这三个问题，我们可以看到几何综合题的解题思路。第一个问题运用全等三角形的性质；第二个问题利用几何变换将复杂的最值问题转化为简单的线段长度问题；第三个问题则需要建立函数模型进行优化。这类题目考查学生综合运用几何知识解决实际问题的能力，是中考数学的重要题型。