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韦达定理是代数学中的一个重要定理，它描述了多项式方程的根与系数之间的关系。这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达命名。对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，如果设两根为 x₁ 和 x₂，那么两根之和等于负 b 除以 a，两根之积等于 c 除以 a。
韦达定理可以通过二次方程的求根公式来推导。从一元二次方程 ax² + bx + c = 0 出发，利用求根公式得到两个根的表达式。将两根相加，根号项相消，得到两根之和等于负 b 除以 a。将两根相乘，经过化简计算，得到两根之积等于 c 除以 a。这个推导过程展示了韦达定理的数学基础。
让我们通过一个具体例子来看韦达定理的应用。对于方程 x² - 5x + 6 = 0，我们可以识别出 a = 1，b = -5，c = 6。根据韦达定理，两根之和等于负 b 除以 a，即 5；两根之积等于 c 除以 a，即 6。我们可以验证：实际的根是 2 和 3，确实 2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。这展示了韦达定理的实用价值。
韦达定理还可以逆向应用，即已知两根来构造二次方程。例如，已知两根为 3 和 -2，我们可以计算出两根之和为 1，两根之积为 -6。根据韦达定理，如果设 a = 1，那么 b = -1，c = -6，因此构造的方程为 x² - x - 6 = 0。我们可以验证，将 x = 3 和 x = -2 代入方程都成立。这是韦达定理的另一重要应用。
韦达定理具有深远的数学意义。它揭示了代数方程的深层结构，连接了方程系数与根的关系。韦达定理的主要应用包括：不解方程就能求出根的和与积，根据已知根构造方程，判断根的性质和关系，以及简化复杂的代数计算。此外，韦达定理还可以推广到高次方程。总的来说，韦达定理是连接代数与几何的重要桥梁，是代数学的基础定理之一。