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兩項式定理是數學中一個重要的公式，用於展開兩項式的冪次。例如，(x+y)的三次方可以展開為x³+3x²y+3xy²+y³。一般來說，兩項式定理給出了(x+y)的n次方的完整展開公式。
兩項式係數是兩項式定理的核心概念。它表示為C(n,k)或者用括號記號表示。兩項式係數等於n的階乘除以k的階乘乘以(n-k)的階乘。例如，C(3,1)等於3的階乘除以1的階乘乘以2的階乘，結果是3。同樣地，C(3,2)也等於3。
帕斯卡三角形是一個美妙的數字排列，每一行的數字恰好對應兩項式係數。第0行只有1，第1行是1和1，第2行是1、2、1，第3行是1、3、3、1。每個數字都等於上方兩個數字的和。這個三角形為我們提供了計算兩項式展開式係數的直觀方法。
現在讓我們實際展開(x+y)的四次方。根據兩項式定理，我們需要計算從k等於0到4的所有項。第一項是C(4,0)乘以x的四次方，等於x的四次方。第二項是C(4,1)乘以x的三次方乘以y，等於4x³y。依此類推，最終得到完整的展開式：x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴。
兩項式定理不僅是純數學的工具，更在許多領域有重要應用。在概率論中，它是二項分布的基礎。在微積分中，它幫助我們理解泰勒展開。在實際計算中，當x很小時，我們可以用1加nx來近似(1+x)的n次方。總的來說，兩項式定理是連接代數、概率和分析的重要橋樑，是數學中不可或缺的基礎工具。