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微积分是现代数学的基础，由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发明。它包含两个核心概念：导数和积分。导数描述函数在某点的瞬时变化率，几何上表示曲线的切线斜率。积分则描述函数的累积量，几何上表示曲线下方的面积。这两个概念通过微积分基本定理紧密联系在一起。
导数的定义是函数在某点处的极限，表示为f'(x)等于h趋于0时，f(x+h)减去f(x)除以h的极限。这个定义给出了函数在某点的瞬时变化率。基本函数的导数公式包括：常数的导数为0，幂函数x的n次方的导数为n倍x的n-1次方，指数函数e的x次方的导数仍为自身，自然对数函数的导数为1除以x，正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负正弦函数。
导数的运算法则是微积分中的重要工具。加减法则说明两个函数和或差的导数等于各自导数的和或差。常数倍法则表明常数与函数乘积的导数等于常数乘以函数的导数。乘积法则是最重要的，两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。商法则用于求两个函数商的导数。链式法则处理复合函数的求导，外函数的导数乘以内函数的导数。
积分是导数的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分表示为积分号加函数再加常数C，因为导数为常数的函数都相等。基本积分公式包括：常数0的积分为常数C，幂函数x的n次方的积分为x的n+1次方除以n+1再加C，1除以x的积分为自然对数绝对值x加C，指数函数e的x次方的积分仍为自身加C，余弦函数的积分为正弦函数加C，正弦函数的积分为负余弦函数加C。定积分表示曲线下方的面积。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分与积分之间的根本联系。定理表明，如果F是f的原函数，那么f在区间a到b上的定积分等于F在b处的值减去F在a处的值。这个定理使得定积分的计算变得非常简单，我们不再需要用黎曼和的极限来计算面积，而是直接通过求原函数在端点的差值来得到结果。这个定理揭示了导数和积分互为逆运算的本质。