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今天我们学习集合的子集与真子集概念。子集是指一个集合中所有元素都属于另一个集合的关系。如图所示，集合B完全包含在集合A内部，我们称B是A的子集。真子集则要求子集必须不等于原集合本身。
对于含有n个元素的集合，子集个数的公式是2的n次方，真子集个数是2的n次方减1。以集合A等于1、2为例，它有4个子集：空集、{1}、{2}、{1,2}。其中真子集有3个，不包括集合本身。
空集具有特殊的性质。空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。如图所示，空集既是集合A的子集，也是集合B的子集。需要注意的是，当集合元素个数为0时，即空集本身，它的真子集个数为0，因为空集没有真子集。
让我们看一个具体例子。集合B等于{a,b,c}有3个元素，根据公式，它有2的3次方等于8个子集。这8个子集分别是：空集、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}。其中真子集有7个，不包括集合本身{a,b,c}。绿色框标出的是真子集，红色框是原集合。
今天我们学习集合的子集与真子集。子集是指一个集合中所有元素都属于另一个集合的关系。如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A包含于B。真子集则要求子集必须不等于原集合，即A是B的子集且A不等于B。
接下来推导子集个数的公式。对于含有n个元素的集合，每个元素都有两种选择：要么包含在子集中，要么不包含在子集中。因此总共有2的n次方种选择，即子集个数为2的n次方。真子集不包括原集合本身，所以真子集个数为2的n次方减1。
我们来看第一个例子。集合A等于{1,2}，有2个元素，所以n等于2。根据公式，子集个数为2的2次方等于4个，真子集个数为4减1等于3个。所有子集包括：空集、{1}、{2}、{1,2}。其中前三个是真子集，最后一个{1,2}是原集合本身。
第二个例子：集合B等于{a,b,c}，有3个元素。子集个数为2的3次方等于8个，真子集个数为8减1等于7个。这7个真子集包括：空集、三个单元素子集、三个双元素子集，但不包括原集合{a,b,c}本身。
总结一下，含有n个元素的集合，子集个数是2的n次方，真子集个数是2的n次方减1。需要注意的关键点：空集是任何集合的子集，真子集不包含原集合本身，当n等于0时真子集个数为0。掌握这些公式和概念，能帮助我们准确计算集合的子集和真子集个数。