视频字幕
函数是数学中的基本概念。它描述了两个集合之间的特殊关系：对于定义域中的每一个输入值，都有值域中唯一确定的输出值与之对应。这种一对一的映射关系是函数的核心特征。
三角函数是数学中重要的函数类型，它们描述了三角形中角度与边长的比值关系。最基本的三角函数包括正弦、余弦和正切函数。这些函数不仅在几何学中有重要作用，在物理学、工程学等领域也有广泛应用。
基本三角函数通过直角三角形中边长的比值来定义。正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。这些简单的比值关系构成了三角函数的基础，让我们能够在已知角度时计算边长，或在已知边长时计算角度。
单位圆为理解三角函数提供了更直观的方法。在半径为1的圆中，任意角度θ对应圆周上的一个点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这种表示方法将三角函数从直角三角形扩展到所有角度，包括大于90度的角和负角。
三角函数在现代科学技术中有着广泛而重要的应用。在物理学中，它们描述波动和振动现象；在工程学中用于信号处理和结构分析；在天文学中计算天体位置；在计算机图形学中实现旋转变换。三角函数的周期性特征使其成为描述自然界中周期现象的理想工具，是连接几何与代数的重要桥梁。