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傅里叶变换是数学和工程学中的一个重要工具。它的核心思想是将复杂的信号分解成简单的正弦波和余弦波的叠加。通过这种方式，我们可以将信号从时域转换到频域，清楚地看到信号包含哪些频率成分。这就像用棱镜将白光分解成彩虹一样，傅里叶变换将复杂信号分解成不同频率的组成部分。
连续时间傅里叶变换是傅里叶变换的基本形式。正变换公式将时域信号x(t)转换为频域信号X(f)，通过与复指数函数的积分来计算每个频率成分的强度。逆变换则将频域信号重新合成为时域信号。当我们改变信号的频率时，可以看到时域中的正弦波对应频域中特定频率处的峰值。这种一一对应关系是傅里叶变换的核心特征。
傅里叶变换具有许多重要的数学性质。线性性表明变换保持信号的线性组合关系。时移性说明时域的延迟对应频域的相位变化。卷积定理是最重要的性质之一，它将时域复杂的卷积运算转化为频域简单的乘法运算，这在信号处理和系统分析中极其有用。帕塞瓦尔定理保证了信号的总能量在时域和频域中是相等的，体现了变换的能量守恒特性。
离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在数字信号处理中的对应形式。它将有限长度的离散时间序列转换为离散频率序列。DFT公式通过求和而不是积分来计算，使得计算机能够精确处理。快速傅里叶变换FFT算法大大提高了DFT的计算效率，使其在实际应用中变得可行。图中显示了8个离散样本点及其对应的频谱，可以看到主要的频率成分集中在特定的频率点上。
傅里叶变换在现代科技中有着极其广泛的应用。在信号处理领域，它用于音频降噪和图像压缩。在通信系统中，调制解调和频谱分析都离不开傅里叶变换。医学影像如MRI和CT扫描的图像重建也基于傅里叶变换原理。在工程领域，振动分析和控制系统设计同样依赖这一数学工具。可以说，傅里叶变换是现代科技的重要基石，从我们日常使用的手机通信到先进的医学成像设备，都在默默地运用着这一伟大的数学发现。