视频字幕
极限是高等数学中最基本的概念。它描述了当自变量x无限接近某个值a时，函数f(x)所趋向的确定值L。这里展示的函数在x等于1处没有定义，但当x接近1时，函数值接近2。这就是极限的核心思想：关注趋势而非精确值。
极限的正式定义使用ε-δ语言。对于函数f(x)在点a处的极限L，意味着我们可以让f(x)任意接近L，只要x足够接近a。具体来说，对于任意小的正数ε，我们都能找到一个正数δ，使得当x在a的δ邻域内时，f(x)就在L的ε邻域内。
当我们讨论极限时，需要考虑左极限和右极限。左极限是x从小于a的方向接近a时函数的趋向值，右极限是x从大于a的方向接近a时函数的趋向值。只有当左极限和右极限都存在且相等时，函数在该点的极限才存在。这个例子显示了一个跳跃不连续点，左极限是2，右极限是3，因此极限不存在。
极限有重要的运算法则。如果两个函数的极限都存在，那么它们的和、差、积的极限等于各自极限的和、差、积。对于商，只要分母的极限不为零，商的极限等于极限的商。常数倍的极限等于常数乘以函数的极限。幂函数的极限等于极限的幂。这些法则使我们能够将复杂函数的极限问题分解为更简单的部分。
极限理论中还包括无穷大和无穷小的概念。当函数值无界增长时，我们说函数趋向无穷大；当函数值趋向零时，我们说函数是无穷小量。红色曲线显示了1/x函数，在x趋向0时趋向无穷大。蓝色曲线显示了sin(x)/x函数，这是一个重要的无穷小量，在x趋向0时极限为1。理解这些概念对于掌握极限理论至关重要。
极限的正式定义使用ε-δ语言。对于函数f(x)在点a处的极限L，意味着我们可以让f(x)任意接近L，只要x足够接近a。具体来说，对于任意小的正数ε，我们都能找到一个正数δ，使得当x在a的δ邻域内时，f(x)就在L的ε邻域内。
当我们讨论极限时，需要考虑左极限和右极限。左极限是x从小于a的方向接近a时函数的趋向值，右极限是x从大于a的方向接近a时函数的趋向值。只有当左极限和右极限都存在且相等时，函数在该点的极限才存在。这个例子显示了一个跳跃不连续点，左极限是2，右极限是3，因此极限不存在。
计算极限有多种方法。最基本的是直接代入法，当函数在该点连续时可以直接使用。当出现0/0型不定式时，可以用因式分解法消除公因子。这个例子展示了如何通过因式分解将x²-1分解为(x+1)(x-1)，约去公因子x-1后得到x+1，从而求出极限值为2。红色虚线显示了化简后的函数，与原函数在x≠1时完全重合。
极限理论中有两个特别重要的极限。第一个是sin(x)/x当x趋向0时的极限等于1，这在三角函数的微分中起关键作用。第二个是(1+1/x)^x当x趋向无穷时的极限等于自然常数e，这与指数函数和对数函数密切相关。极限不仅是理论概念，更是微积分的基础，为导数、积分、级数等概念提供了严格的数学基础。掌握极限理论对于深入理解高等数学至关重要。