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不定积分是微积分中的重要概念，它与导数互为逆运算。首先我们需要理解原函数的定义：如果函数F(x)的导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。例如，如果f(x) = x²，那么F(x) = x³/3 + C就是它的原函数。
由于常数的导数为零，原函数不是唯一的。如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)加上任意常数C也是f(x)的原函数。例如，对于f(x) = x²，我们有F₁(x) = x³/3，F₂(x) = x³/3 + 2，F₃(x) = x³/3 - 1等，它们都是f(x)的原函数，图像上表现为相互平移的曲线族。
现在我们来正式定义不定积分。不定积分是函数f(x)的所有原函数构成的集合，记作∫f(x)dx = F(x) + C。这里，积分号∫表示求原函数的运算，f(x)是被积函数，dx表示对x积分，F(x)是一个原函数，C是任意常数。这个定义将所有可能的原函数都包含在内。
让我们详细了解不定积分的记号。在∫x²dx = x³/3 + C这个例子中，∫是积分符号，表示求原函数的运算；x²是被积函数；dx是微分元素，表示对变量x积分；等号右边的x³/3是原函数；C是积分常数，代表所有可能的常数项。这个记号系统清晰地表达了不定积分的完整含义。
总结一下不定积分的定义：不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为任意常数。不定积分的关键要点包括：它是原函数的集合，必须包含任意常数C，与导数运算互为逆运算。这个定义建立了微分与积分之间的基本关系，是微积分学的核心概念之一。