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极限是微积分中最重要的概念之一。当自变量x无限趋近于某个特定值时，函数值f(x)所趋近的目标值就是极限。让我们通过一个具体例子来理解这个概念。
为了更精确地理解极限，我们需要区分左极限和右极限。左极限是指x从小于1的方向趋近于1时函数的极限值，右极限是指x从大于1的方向趋近于1时函数的极限值。只有当左极限等于右极限时，我们才说极限存在。
现在让我们学习如何计算这个极限。首先写出原函数，然后进行因式分解，将分子分解为x减1乘以x加1。接下来约去分子分母的公因子x减1，得到简化形式x加1。最后代入极限值x等于1，得到极限值为2。通过数值表格我们可以验证这个结果。
极限有几个重要的性质。首先是唯一性，如果极限存在，那么极限值是唯一确定的。其次是四则运算法则，两个函数和差积商的极限等于各自极限的和差积商。最重要的是夹逼定理，如果函数f被两个函数g和h夹在中间，且g和h的极限相等，那么f的极限也等于这个值。
极限在数学中有广泛的应用。首先，它用于定义函数的连续性，函数在某点连续当且仅当该点的极限值等于函数值。其次，导数的定义就是基于极限，表示函数增量比的极限。第三，积分也是通过极限来定义的。可以说，极限是整个微积分学的基础，为导数和积分提供了严格的数学定义。