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极限是微积分中最重要的基础概念之一。它描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数值的变化趋势。比如这个例子中，当x接近1时，函数值接近2，即使在x等于1处函数可能没有定义。
直接代入法是求极限最简单的方法。当函数在极限点处连续时，我们可以直接将极限点的值代入函数中。例如，求x趋于2时x平方加3x减1的极限，我们直接代入x等于2，得到4加6减1等于9。这种方法适用于多项式函数、指数函数、对数函数等在定义域内连续的函数。
当直接代入出现零比零型不定式时，我们需要使用因式分解与约分法。例如，求x趋于3时，x平方减9除以x减3的极限。直接代入会得到零比零，这是不定式。我们将分子因式分解为x减3乘以x加3，然后约去公因式x减3，得到x加3。最后代入x等于3，得到极限值6。
重要极限是一些特定的、已知结果的极限，可以直接使用。最常用的重要极限包括：当x趋于0时，sinx除以x的极限等于1；当x趋于无穷时，1加1除以x的x次方的极限等于e。利用这些重要极限，我们可以通过适当的变形来求解类似的极限问题。
洛必达法则是处理零比零型或无穷比无穷型不定式的强有力工具。当遇到这类不定式时，我们可以对分子和分母分别求导，然后求导数之比的极限。例如，求x趋于0时，e的x次方减1除以x的极限。直接代入得到零比零型不定式，使用洛必达法则，分子求导得到e的x次方，分母求导得到1，所以极限等于1。