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极限是微积分中最重要的基础概念之一。它描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数值的变化趋势。比如这个例子中，当x接近1时，函数值接近2，即使在x等于1处函数可能未定义。极限帮助我们理解函数在某点附近的行为。
直接代入法是求极限最基本的方法。当函数在极限点处连续时，我们可以直接将极限点的值代入函数中。比如求x趋向于2时，x²+3x-1的极限，我们直接代入x=2，得到4+6-1=9。这种方法简单直接，是首先应该尝试的方法。
当直接代入出现零比零的不定式时，我们使用因式分解与约分法。比如求x趋向于3时，x²-9除以x-3的极限。直接代入得到0/0，所以我们将分子因式分解为(x-3)(x+3)，约去公因式x-3，得到x+3，再代入x=3，结果是6。
洛必达法则是处理不定式极限的强大工具。当遇到零比零或无穷比无穷型不定式时，我们对分子分母分别求导，然后求导数之比的极限。比如著名的正弦函数除以x的极限，通过洛必达法则，分子求导得余弦，分母求导得1，所以极限等于1。
夹逼定理是求极限的重要方法。当目标函数的极限难以直接求解时，我们寻找两个函数来夹住它。比如x乘以sin(1/x)的极限，虽然sin(1/x)在x趋于0时剧烈振荡，但被-|x|和|x|夹住。由于两个边界函数的极限都是0，所以原函数的极限也是0。这就是夹逼定理的威力。