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二倍角定理是三角函数中的重要恒等式。它告诉我们如何用角θ的三角函数值来表示角2θ的三角函数值。在单位圆中，我们可以看到角θ和角2θ的位置关系。
二倍角公式包括正弦、余弦和正切的二倍角形式。正弦的二倍角公式是sin(2θ)等于2sinθcosθ。余弦的二倍角公式有三种等价形式。正切的二倍角公式是2tanθ除以1减去tan²θ。这些公式可以通过单位圆上的坐标关系来理解。
现在我们来推导正弦的二倍角公式。利用三角函数的加法公式，sin(2θ)等于sin(θ+θ)，展开后得到sinθcosθ加上cosθsinθ，合并同类项得到2sinθcosθ。在单位圆的直角三角形中，我们可以看到这个关系的几何意义。
接下来推导余弦的二倍角公式。同样利用加法公式，cos(2θ)等于cos(θ+θ)，展开得到cos²θ减去sin²θ。利用勾股定理sin²θ加cos²θ等于1，我们可以得到余弦二倍角的三种等价形式。在单位圆中可以直观地看到这些关系。
二倍角定理在数学和物理中有广泛应用。我们可以用它计算特殊角的三角函数值，简化复杂的三角表达式，解三角方程。在物理学中，二倍角公式常用于描述振动和波动现象。图中显示了sinx和sin(2x)的函数图像，可以看出二倍角函数的周期是原函数的一半。