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數論是數學中一個古老而重要的分支，專門研究整數的性質和規律。整數包括正整數、負整數和零。數論的核心概念包括質數，也就是只能被1和自身整除的大於1的自然數，如2、3、5、7等。數論還研究整除性、同餘關係等重要概念。
在數論中，我們將大於1的自然數分為兩類：質數和合數。質數是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11等。合數則是除了1和自身外還有其他因數的數，如4、6、8、9、10等。每個合數都可以唯一地分解為質數的乘積，這稱為質因數分解。例如12等於2的平方乘以3。
整除性是數論的基本概念。如果整數a能被整數b整除，我們記作b整除a。最大公因數是能同時整除兩個或多個整數的最大正整數。我們可以用歐幾里得算法來求最大公因數。例如求48和18的最大公因數：48等於18乘以2加12，18等於12乘以1加6，12等於6乘以2加0，所以最大公因數是6。
同餘理論是數論的重要分支。如果兩個整數除以同一個正整數的餘數相同，我們就說這兩個數同餘。例如7、12、17除以5的餘數都是2，所以它們模5同餘。所有與某數模m同餘的整數組成一個同餘類。同餘有很多重要性質，比如同餘式可以進行加法和乘法運算。
數論不僅是純數學研究，在現代科技中也有廣泛應用。最著名的是RSA加密算法，它基於大質數分解的困難性來保護網絡通信安全。RSA的基本原理是選擇兩個大質數，計算它們的乘積，然後利用模運算和歐拉函數來生成公鑰和私鑰。數論還應用於哈希函數、錯誤檢測、隨機數生成等領域，展現了純數學理論向實用技術轉化的魅力。