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三角函数是数学中的重要概念，它们定义在直角三角形中。在一个直角三角形里，相对于角θ，我们有对边、邻边和斜边。这三条边的长度比值就构成了基本的三角函数关系。
正弦函数是最基本的三角函数之一。对于直角三角形中的锐角θ，正弦值定义为该角的对边长度除以斜边长度。这里绿色线段表示对边，紫色线段表示斜边。重要的是，这个比值只取决于角度的大小，而与三角形的实际尺寸无关。
余弦函数是第二个基本三角函数。对于角θ，余弦值定义为邻边长度除以斜边长度。邻边是与角θ相邻的那条直角边，这里用蓝色线段表示。同样，余弦值也只取决于角度大小，与三角形尺寸无关。
正切函数是第三个基本三角函数。正切值定义为对边长度除以邻边长度，也就是绿色线段除以蓝色线段的比值。正切函数还可以表示为正弦函数除以余弦函数。当邻边趋近于零时，正切值会趋向无穷大。
让我们总结一下三角函数的基本关系。正弦等于对边除以斜边，余弦等于邻边除以斜边，正切等于对边除以邻边，也等于正弦除以余弦。最重要的是勾股恒等式：正弦的平方加上余弦的平方等于1。这个恒等式直接来源于勾股定理。
三角函数有着广泛的应用。在几何学中，它们帮助我们计算三角形的未知边长和角度。在物理学中，三角函数描述波动、振动和周期运动。工程学、天文学、计算机图形学等领域也都大量使用三角函数。它们是连接几何与代数的重要桥梁，是数学中不可或缺的工具。