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线性变换是数学中的一个重要概念。它是定义在向量空间之间的函数，具有保持向量运算性质的特点。简单来说，线性变换就是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中，同时保持向量加法和标量乘法的运算规律不变。
线性变换必须满足两个基本性质。第一个是加性，即变换作用于两个向量的和，等于分别对这两个向量进行变换后再相加。第二个是齐次性，即变换作用于标量乘以向量，等于标量乘以变换后的向量。只有同时满足这两个性质的函数，才能被称为线性变换。
在二维空间中，任何线性变换都可以用一个二乘二的矩阵来表示。当我们将这个矩阵乘以一个向量时，就得到了变换后的向量。例如，旋转变换可以用包含正弦和余弦函数的旋转矩阵来表示。通过矩阵乘法，我们可以轻松地计算出任意向量经过线性变换后的结果。
线性变换有几种常见类型。旋转变换保持向量的长度不变，只改变方向。缩放变换改变向量的大小，但保持方向不变。反射变换将向量关于某条轴或原点进行对称变换。剪切变换则会使矩形变成平行四边形。每种变换都有对应的矩阵表示，通过这些矩阵我们可以精确地描述和计算各种几何变换。
线性变换在现代科学技术中有着广泛的应用。在计算机图形学中，它用于三维建模和动画制作。在机器学习领域，线性变换帮助进行数据降维和特征提取。物理学中的坐标系变换、工程学中的信号处理，以及经济学中的投入产出模型，都离不开线性变换。可以说，线性变换是连接抽象数学理论与实际应用的重要桥梁。