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微積分是數學中最重要的分支之一，它是研究變化和運動的強大工具。微積分主要包含兩個核心部分：微分學和積分學。微分學研究函數的變化率，比如曲線上某點的切線斜率。積分學則研究累積量，比如曲線下方的面積。這兩個概念看似相反，但實際上密切相關，構成了現代數學和科學的基礎。
極限是微積分的核心概念，它描述當自變量趨近於某個特定值時，函數值的變化趨勢。比如當x趨近於2時，函數x的平方趨近於4。我們可以看到，隨著x越來越接近2，函數值也越來越接近4。這種趨近的概念為後續的導數和積分奠定了理論基礎。
導數是微分學的核心概念，它描述函數在某一點的瞬時變化率。從幾何角度看，導數就是曲線在該點的切線斜率。我們可以通過割線逼近切線的方法來理解導數。當兩點之間的距離越來越小時，割線就越來越接近切線，其斜率就趨近於該點的導數值。
積分是微積分的另一個核心概念，它計算曲線下方的面積。我們可以用矩形來近似這個面積，矩形越多，近似就越精確。當矩形數量趨向無窮時，就得到了精確的面積值。積分實際上是微分的逆運算，這個關係被稱為微積分基本定理。
微積分在現實世界中有著廣泛的應用。在物理學中，我們用導數來描述速度和加速度的關係。位置函數的導數是速度，速度函數的導數是加速度。在工程學中，微積分幫助我們優化設計；在經濟學中，用於分析邊際成本和收益；在生物學中，用於建立人口增長模型。微積分是現代科學技術發展的重要數學工具。