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我们来分析这道关于函数与x轴交点的问题。给定函数y等于括号m平方减1括号x平方减括号3m减1括号x加2。要判断图象与x轴的交点情况，需要分析方程的解的个数。关键是要考虑二次项系数m平方减1是否为零的情况。
首先分析二次项系数。当m平方减1等于0时，即m等于正负1时，原方程不是二次方程而是线性方程。当m等于1时，方程变为负2x加2等于0，解得x等于1，有一个交点。当m等于负1时，方程变为4x加2等于0，解得x等于负二分之一，也有一个交点。
当m不等于正负1时，原方程是二次方程。我们需要计算判别式德尔塔。根据公式，德尔塔等于b平方减4ac。其中a等于m平方减1，b等于负括号3m减1，c等于2。展开计算后得到德尔塔等于m平方减6m加9，进一步因式分解得到德尔塔等于括号m减3的平方。
根据判别式德尔塔等于括号m减3的平方，我们可以分析交点情况。当德尔塔大于0时，即m不等于3时，二次方程有两个不同实根，图象与x轴有两个交点。当德尔塔等于0时，即m等于3时，二次方程有一个重根，图象与x轴只有一个交点。结合之前分析的m等于正负1的情况，我们得出完整的交点分布。
现在验证各个选项。选项A错误，因为当m等于0时，m不等于3，但此时有两个交点而非一个。选项B错误，因为当m等于3时，m不等于正负1，但只有一个交点而非两个。选项D错误，因为判别式德尔塔恒大于等于0，图象总是与x轴有交点。只有选项C正确：当m等于正负1时，都是线性方程，各有一个交点。因此答案是C。