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微分是描述函數變化率的數學工具。它告訴我們函數在某一點的瞬時變化速度，也就是切線的斜率。微分在現實生活中有五個主要應用領域：最佳化問題、變化率分析、曲線分析、近似計算，以及物理學中的運動描述。
最佳化問題是微分最重要的應用之一。我們來看一個實際例子：製造商要製作無蓋長方體盒子，底面積固定為12平方公尺，求什麼高度能使表面積最小。建立函數S等於12加4h根號3，對h求導得到4根號3，這是常數大於零，表示函數單調遞增，所以當h趨近於0時表面積最小。
變化率是微分的核心概念，描述一個量相對於另一個量的變化速度。在物理學中，速度是位移對時間的變化率，加速度是速度對時間的變化率。在經濟學中，邊際成本是成本對產量的變化率。圖中藍色曲線表示位移，紅色直線表示速度，可以看到速度就是位移曲線的斜率。
曲線分析是微分的重要應用。通過一階導數我們可以判斷函數的增減性，找到極值點。通過二階導數可以判斷函數的凹凸性。圖中紅點是極大值，綠點是極小值。微分還可以用於近似計算，利用函數在某點的切線來估計附近的函數值，這就是線性近似的概念。
在物理學中，微分是描述運動的基本工具。位移函數對時間的一階導數就是速度，二階導數就是加速度。以自由落體為例，位移函數是二分之一g乘以t的平方，速度是gt，加速度是常數g。圖中藍色曲線表示位移，紅色直線表示速度，綠點表示物體位置，橙色箭頭表示速度方向。