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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两个直角边的平方之和等于斜边的平方。这个定理有着深刻的几何意义和广泛的应用。
我们构建一个边长为a加b的大正方形，然后在四个角落各放置一个相同的直角三角形。这样，中间就形成了一个边长为c的小正方形。通过比较不同的面积计算方法，我们可以证明勾股定理。
现在我们用两种不同的方法来计算大正方形的面积。第一种方法是直接用边长的平方，即a加b的平方。第二种方法是将面积分解为中心正方形c的平方，加上四个直角三角形的面积，即c的平方加上2ab。
现在我们进行代数推导。由于两种方法计算的是同一个面积，所以它们必须相等。将a加b的平方展开，得到a的平方加2ab加b的平方。两边同时减去2ab，最终得到a的平方加b的平方等于c的平方。这就完成了勾股定理的证明。
勾股定理不仅是一个美妙的数学定理，更是连接理论与实践的桥梁。它在建筑工程、导航定位、物理计算和计算机图形学等众多领域都有重要应用。这个简洁而深刻的公式，体现了数学的普遍性和实用价值，是人类智慧的结晶。