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极限是微积分的基础概念。当自变量 x 无限趋近于某个值 a 时，如果函数 f(x) 无限趋近于某个确定的值 L，我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。图中展示了一个典型例子，当 x 趋近于 2 时，函数值趋近于 4。
直接代入法是计算极限最简单的方法。当函数在趋近点连续时，极限值就等于函数在该点的函数值。例如计算 x 趋近于 2 时 x² + 3x - 1 的极限，我们直接将 x = 2 代入得到 4 + 6 - 1 = 9。图中可以看到函数在 x = 2 处连续，极限值就是函数值。
当直接代入出现零比零的不定式时，我们使用因式分解法。例如计算 x 趋近于 2 时 (x²-4)/(x-2) 的极限。直接代入得到 0/0，这是不定式。我们将分子因式分解为 (x+2)(x-2)，约去公因式 (x-2)，得到 x+2。然后代入 x=2，得到极限值 4。图中红色虚线表示约简后的函数 y=x+2。
重要极限是计算极限的重要工具。第一个重要极限是当 x 趋近于 0 时，sin x 除以 x 的极限等于 1。图中蓝色曲线是正弦函数，红色曲线是 sin x 除以 x 的函数。虽然在 x=0 处函数未定义，但极限值为 1。第二个重要极限涉及自然常数 e，当 n 趋近于无穷时，(1+1/n)的n次方趋近于 e。这些极限公式在复杂函数的极限计算中经常用到。
洛必达法则是处理不定式的强大工具。当遇到 0/0 或无穷比无穷的不定式时，我们可以对分子分母分别求导，然后再求极限。例如计算 x 趋近于 0 时 (eˣ-1)/x 的极限。直接代入得到 0/0 不定式。应用洛必达法则，分子求导得 eˣ，分母求导得 1，所以极限变为 eˣ/1 在 x=0 处的值，即 1。图中红色曲线是原函数，绿色曲线是求导后的函数 eˣ。