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微積分第一基本定理是微積分學的核心定理。它建立了微分與積分之間的根本聯繫。定理告訴我們，如果我們有一個連續函數f，並定義F(x)為從a到x的定積分，那麼F的導數就等於原函數f。這個定理揭示了求導和積分是互為逆運算的關係。
現在我們來看定理的正式陳述。設函數f在閉區間[a,b]上連續，我們定義一個新函數F(x)等於從a到x的定積分。那麼F在開區間(a,b)上是可導的，並且F的導數等於原函數f在該點的值。這就是說，積分函數的導數等於被積函數本身。
讓我們從幾何角度理解這個定理。當x增加一個微小量Δx時，積分F(x)的增量就是新增的面積。這個面積增量可以近似為一個矩形，其底邊是Δx，高是f(x)。因此面積增量約等於f(x)乘以Δx。當我們計算F的導數時，就是這個比值在Δx趨於零時的極限，結果就是f(x)。
讓我們看一個具體例子來驗證這個定理。設f(t)等於t的平方，我們定義F(x)為從0到x的積分。通過計算，我們得到F(x)等於x的三次方除以3。現在我們對F(x)求導，得到x的平方，這正好等於原函數f(x)。這個例子完美地驗證了微積分第一基本定理。
微積分第一基本定理具有深遠的意義。它建立了微分與積分之間的根本聯繫，證明了求導與積分是互為逆運算。這個定理不僅為計算定積分提供了有效方法，還連接了幾何直觀與代數計算。它的核心思想可以表達為：對積分函數求導等於被積函數本身。這是微積分學的基石之一，為整個微積分理論奠定了堅實基礎。