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离散快速傅里叶变换，简称FFT，是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。它能够将时域信号转换为频域表示，揭示信号中包含的频率成分。FFT的主要优势在于大幅提高了计算效率，将原本需要N平方次运算的DFT降低到N乘以log N次运算。
DFT和FFT本质上计算的是同一个数学变换。DFT的数学定义是将N个时域样本转换为N个频域系数。传统的DFT直接计算需要N的平方次复数乘法运算。而FFT通过巧妙的分治策略，将这个复杂度降低到N乘以log N，大大提高了计算效率。当数据量较大时，这种效率提升非常显著。
FFT的核心是分治策略。它将N点的DFT问题递归地分解为更小的子问题。首先将输入序列按奇偶索引分为两组，然后分别计算这两组的DFT。最后利用旋转因子将子问题的结果合并得到最终答案。这种分解方式使得计算复杂度从N平方降低到N乘以log N。每一层分解都将问题规模减半，总共需要log N层。
FFT在现代科技中有着极其广泛的应用。在信号处理领域，它用于频谱分析、滤波器设计和音频处理。在图像处理中，FFT帮助实现图像压缩、边缘检测和图像增强。在科学计算方面，FFT加速了偏微分方程的数值求解和卷积运算。可以说，FFT是数字信号处理的基石，几乎所有涉及频域分析的应用都离不开它。
总结一下，离散快速傅里叶变换FFT是计算离散傅里叶变换的高效算法。它通过分治策略将计算复杂度从N平方降低到N乘以log N，极大地提高了计算效率。FFT不仅是数学上的突破，更是推动现代信息技术发展的重要基石。从音频处理到图像压缩，从通信系统到科学计算，FFT无处不在，深刻地改变了我们处理和分析数字信息的方式。