复变函数 sin z 是数学分析中的重要概念。它是将我们熟悉的实变函数正弦函数推广到复数域的结果。实变函数 sin x 可以用欧拉公式表示为 e 的 i x 次方减去 e 的负 i x 次方，再除以 2i。当我们将实变量 x 替换为复变量 z 时，就得到了复变函数 sin z 的定义。
要理解复变函数 sin z，我们首先需要了解复指数函数。根据欧拉公式，e 的 iz 次方等于 cos z 加上 i 乘以 sin z。当 z 等于 x 加 iy 时，复指数函数可以分解为实部和虚部的乘积。在复平面上，这对应着单位圆上的点，其中实轴表示实部，虚轴表示虚部。
现在我们来推导复变函数 sin z 的具体形式。设复数 z 等于 x 加 iy，其中 x 是实部，y 是虚部。将这个表达式代入复指数函数，我们得到 e 的 iz 次方等于 e 的 ix 减 y 次方，而 e 的负 iz 次方等于 e 的负 ix 加 y 次方。在复平面上，z 可以表示为一个向量，其实部和虚部分别对应 x 轴和 y 轴的分量。
通过进一步的代数运算，我们可以得到复变函数 sin z 的最终表达式。它等于 sin x 乘以 cosh y 加上 i 乘以 cos x 乘以 sinh y。这里 cosh 和 sinh 是双曲函数。这个表达式清楚地显示了复变函数 sin z 的实部和虚部。实部是 sin x cosh y，虚部是 cos x sinh y。图中蓝色曲线表示实部，红色曲线表示虚部。
复变函数 sin z 具有许多重要性质。首先，它保持周期性，周期为 2π。其次，它是奇函数，即 sin 负 z 等于负 sin z。第三，它在整个复平面上都是解析的，这意味着它处处可微。最重要的是，当虚部 y 等于 0 时，它就退化为我们熟悉的实函数 sin x。图中的热力图显示了 sin z 模长的分布，蓝色线表示实轴。复变函数 sin z 是实函数在复数域的自然而优美的推广。