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我们来解决一个三角形边长计算问题。已知三角形ABC中，边a等于5，角B等于30度，角C等于45度，要求边b的长度。这是一个典型的利用正弦定理求解三角形的问题。
首先我们需要计算角A的大小。根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。因此角A等于180度减去角B减去角C，即180度减去30度减去45度，等于105度。
接下来我们应用正弦定理来求解边b。正弦定理告诉我们，在任意三角形中，各边与其对角正弦值的比相等。对于我们的问题，我们使用a比sin A等于b比sin B这个关系，代入已知数值得到5比sin105度等于b比sin30度。
现在我们需要计算三角函数的值。sin30度等于二分之一。对于sin105度，我们使用加法公式，105度等于60度加45度。根据正弦加法公式，sin105度等于sin60度乘以cos45度加上cos60度乘以sin45度，计算得到根号6加根号2除以4。将这些值代入正弦定理，得到b等于10除以根号6加根号2。
最后一步是有理化分母。我们将分子分母同时乘以根号6减根号2，利用平方差公式，分母变成6减2等于4，最终得到b等于5倍根号6减根号2的差，再除以2。这就是我们的最终答案。