如何解答这道题---18. (12 分) 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$. (1) 若 $C=\frac{2\pi}{3}$, 求 $B$; (2) 求 $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值.

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我们来解这道三角函数题。首先需要化简已知的三角恒等式。左边可以化简为正切函数，右边也可以化简为正切函数，从而得到关键的角度关系。 根据正切函数的周期性，我们可以建立角度之间的关系。通过分析三角形内角的约束条件，确定唯一的关系式A加2B等于π/2。结合三角形内角和定理，可以用角B来表示角A和角C。 现在解第一问。当C等于三分之二π时，利用我们得到的关系式C等于二分之π加B，可以直接求出B等于六分之π。然后验证A也等于六分之π，三个内角和确实等于π，满足三角形条件。 现在解第二问。利用正弦定理将边长比转化为角的正弦比，然后代入我们得到的角度关系。通过三角恒等变换，最终得到关于x等于cos²B的函数。这个函数的定义域是二分之一到1的开区间。 最后求函数的最小值。利用均值不等式，4x加2/x大于等于4根号2，等号成立当且仅当x等于根号2/2。验证这个值在定义域内，因此原表达式的最小值为4根号2减5。这就完成了整道题的求解。