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极限是微积分的核心概念之一。它描述的是当函数的输入无限接近某个值时，函数的输出无限接近的那个值。比如这个函数，当x接近1时，虽然在x等于1处没有定义，但函数值无限接近2。这就是极限的本质：关注函数在某点附近的行为，而不是在该点本身的值。
极限有严格的数学定义。对于函数f(x)，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近某个数值L，那么我们说L是f(x)当x趋近于a时的极限。用数学符号表示就是：lim(x→a) f(x) = L。这里的关键是，极限关注的是函数在某点附近的行为，而不是函数在这一点本身的值。即使函数在点a没有定义，或者函数在点a的值与极限值不同，极限仍然可能存在。
从几何角度来理解极限更加直观。极限就像是函数图像上一个点的"目标位置"。当我们沿着函数曲线移动时，即使某个点可能不存在或有"洞"，我们仍然可以看到函数值趋向的方向。这就是极限的几何意义：它描述了函数的趋势和方向，告诉我们函数"想要"到达的位置，即使它可能永远无法真正到达那里。
极限是导数概念的基础。导数的定义就是一个极限：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。这个极限描述了函数在某点的瞬时变化率，也就是切线的斜率。当h趋近于0时，割线逐渐变成切线，割线的斜率就趋近于切线的斜率。没有极限的概念，我们就无法精确定义导数，也就无法描述函数的瞬时变化率。这就是为什么极限在微积分中如此重要的原因。
极限是微积分的基石，它的重要性体现在多个方面。首先，导数通过极限来描述瞬时变化率；其次，积分通过极限来描述累积和面积；连续性通过极限来描述函数的平滑性；级数通过极限来描述无穷项的和。极限让我们能够处理"无穷小"和"无穷大"的概念，是现代数学分析的核心工具。从物理学中的瞬时速度，到工程学中的优化问题，极限的应用无处不在，它为我们理解和描述连续变化的世界提供了强有力的数学工具。