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黎曼猜想是关于黎曼ζ函数零点分布的一个数学猜想。黎曼ζ函数最初定义为一个无穷级数，后来通过解析延拓扩展到整个复平面。猜想断言，所有非平凡零点的实部都等于二分之一，即它们都位于临界线上。这个猜想与素数的分布有着极其深刻的联系。
黎曼ζ函数最初定义为一个无穷级数：ζ(s)等于从1到无穷大的n的负s次方的和。这个级数在复数s的实部大于1时收敛。通过数学技巧称为解析延拓，可以将这个函数扩展到整个复平面，除了s等于1这一点，在那里函数有一个简单的极点。
黎曼ζ函数的零点分为两类。第一类是平凡零点，它们是负偶数：负2、负4、负6等等，这些零点的位置是已知的。第二类是非平凡零点，它们位于复平面上0小于实部小于1的带状区域内，称为临界带。黎曼猜想正是关于这些非平凡零点的精确位置。
黎曼猜想的核心内容是：所有非平凡零点的实部都恰好等于二分之一。这意味着这些零点都位于复平面上实部等于二分之一的直线上，这条直线被称为临界线。如果这个猜想成立，那么所有非平凡零点都可以写成二分之一加上虚数单位乘以某个实数t的形式。
黎曼猜想是数学史上最重要的未解决问题之一。它与素数的分布有着极其深刻的联系，如果猜想成立，将对数论产生革命性的影响。黎曼猜想是克莱数学研究所提出的七个千禧年大奖难题之一，成功证明者将获得一百万美元奖金。尽管数学家们已经努力了一个多世纪，这个猜想至今仍未被证明或证伪。