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勒贝格积分是现代数学中一种重要的积分概念，它是黎曼积分的推广。与我们熟悉的黎曼积分通过划分定义域不同，勒贝格积分采用了一种全新的思路：通过划分函数的值域来定义积分。这种方法基于测度论，能够处理更广泛的函数类。
勒贝格积分的核心思想是这样的：首先将函数的值域分成若干个小区间，然后考察函数取值落在每个小区间内的定义域部分有多大，这个"大小"就是我们说的测度。接下来，将每个值域小区间的代表值乘以对应定义域部分的测度，最后将所有这些乘积求和，就得到了积分的近似值。
勒贝格积分建立在测度论的基础上。测度是对集合"大小"概念的推广，我们熟悉的长度、面积、体积都是测度的特殊例子。勒贝格测度能够测量比简单区间更复杂的集合。测度具有重要的性质：非负性、可数可加性，以及空集的测度为零。这些性质使得勒贝格积分具有良好的数学结构。
勒贝格积分的严格定义是这样的：对于非负可测函数f，其勒贝格积分定义为所有不超过f的简单函数的积分的上确界。简单函数是形如常数乘以特征函数之和的函数，它们可以用阶梯状的图形来表示。通过用越来越精细的简单函数来逼近原函数，我们就得到了勒贝格积分的值。
勒贝格积分相比黎曼积分具有显著优势。首先，它能够积分更广泛的函数类，不仅包括连续函数，还包括许多黎曼不可积的函数。其次，勒贝格积分在极限运算下具有更好的性质，如控制收敛定理、单调收敛定理等，这些定理在数学分析中极其重要。因此，勒贝格积分在概率论、泛函分析、偏微分方程等现代数学领域有着广泛的应用。