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马尔可夫链是概率论中的一个重要概念。它是一种随机过程，具有马尔可夫性质，也就是"无记忆"的特性。这意味着系统的未来状态只取决于当前状态，而与过去的历史无关。我们可以用状态转移图来表示马尔可夫链，其中圆圈代表不同的状态，箭头表示状态之间的转移，数字表示转移概率。
马尔可夫性质是马尔可夫链的核心特征。用数学语言表达，就是给定当前状态的条件下，未来状态的条件概率分布与过去状态无关。这就是所谓的"无记忆性"。在时间轴上，我们可以看到系统从过去状态演化到当前状态，而预测未来状态时，只需要知道当前状态的信息，过去的历史信息都可以忽略。
转移概率矩阵是描述马尔可夫链的重要工具。矩阵中的每个元素P_{ij}表示从状态i转移到状态j的概率。矩阵的每一行代表从某个状态出发的所有可能转移，因此每行的概率和必须等于1。例如，第一行表示从状态A出发，有0.6的概率留在A，0.4的概率转移到B，0的概率转移到C。通过这个矩阵，我们可以完全描述马尔可夫链的转移规律。
让我们通过一个天气预测的例子来理解马尔可夫链。假设天气系统只有晴天和雨天两种状态。根据历史数据，晴天后有70%概率仍是晴天，30%概率变雨天；雨天后有40%概率转晴天，60%概率仍是雨天。这就构成了一个简单的马尔可夫链。我们可以看到，预测明天的天气只需要知道今天的天气状况，而不需要考虑前天或更早的天气历史。
马尔可夫链在现代科学技术中有着极其广泛的应用。在金融领域，用于股价预测和风险评估；在生物学中，用于DNA序列分析和蛋白质结构预测；在计算机科学中，谷歌的PageRank算法就是基于马尔可夫链；在物理学中，用于模拟粒子的随机运动；在经济学中，分析市场状态的转换；在自然语言处理中，用于文本生成和语言模型。所有这些应用都利用了马尔可夫链的核心特性：无记忆的随机过程，即未来状态只依赖于当前状态。