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偏导数是多元函数微积分的基础概念。当我们有一个多变量函数，比如z等于x平方加y平方时，我们想知道函数对每个变量的变化率。偏导数就是固定其他变量，只对一个变量求导的结果。
偏导数用特殊符号表示。对x的偏导数写作偏f偏x，对y的偏导数写作偏f偏y。计算时，我们将其他变量视为常数。例如，对于函数f等于x平方加3xy加y平方，求对x的偏导数时，将y看作常数，得到2x加3y。求对y的偏导数时，将x看作常数，得到3x加2y。
偏导数有重要的几何意义。对于二元函数的图像是一个曲面。当我们固定y等于某个常数y0时，得到一个平面，这个平面与曲面的交线是一条曲线。偏导数∂f/∂x就是这条曲线在某点处的切线斜率。同样，固定x等于x0时，∂f/∂y是另一条交线的切线斜率。
让我们通过一个具体例子来练习偏导数的计算。给定函数f等于x的三次方加2xy的平方减y的三次方。首先求对x的偏导数，将y视为常数，x的三次方求导得3x的平方，2xy的平方中y的平方是常数，所以得到2y的平方，负y的三次方中没有x，求导为0。因此结果是3x的平方加2y的平方。类似地，求对y的偏导数时将x视为常数，得到4xy减3y的平方。
偏导数在许多领域都有重要应用。在优化问题中，我们通过令所有偏导数等于零来寻找函数的极值点。梯度向量由各个偏导数组成，指示函数增长最快的方向。在物理学中，偏导数用于描述温度场、电场等的变化。在经济学中，偏导数表示边际效应。在机器学习中，梯度下降算法利用偏导数来优化模型参数。偏导数是多元函数微积分的基础工具，掌握它对理解高等数学和应用科学都非常重要。