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积分函数是微积分中的重要概念。给定一个函数 f(x)，它的积分函数 F(x) 是一个新的函数，满足 F(x) 的导数等于原函数 f(x)。例如，如果 f(x) 等于 x 的平方，那么它的积分函数 F(x) 就是 x 的三次方除以 3。
不定积分用符号∫f(x)dx表示，结果是F(x)加上一个任意常数C。这个常数C叫做积分常数，它表示积分函数不是唯一的，而是一个函数族。图中显示了同一个函数的不同积分函数，它们只相差一个常数，形状完全相同但位置不同。
积分与导数是互为逆运算的关系。微积分基本定理告诉我们，对积分函数求导会得到原函数。例如，f(x)等于2x，它的积分函数F(x)等于x的平方。当我们对F(x)求导时，得到F'(x)等于2x，正好等于原函数f(x)。图中绿色切线的斜率就是导数值。
让我们看一些常见函数的积分示例。对于幂函数x的n次方，其积分是x的n+1次方除以n+1。指数函数e的x次方的积分仍是它本身。三角函数中，正弦函数的积分是负余弦，余弦函数的积分是正弦。还有1除以x的积分是自然对数。图中展示了几个具体例子。
积分函数在实际中有广泛应用。最直观的是计算曲线下的面积，这正是定积分的几何意义。在物理学中，速度函数的积分给出位移，加速度函数的积分给出速度。工程中用于计算累积量，如流量、电荷等。概率论中，概率密度函数的积分给出概率。积分函数是连接函数与其变化率的桥梁，是微积分的核心概念。