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压缩感知是一种革命性的信号处理技术，它打破了传统奈奎斯特采样定理的限制。传统方法需要大量的测量来重建信号，而压缩感知利用信号的稀疏性，能够从远少于传统方法所需的测量中精确重建信号。这里展示的是一个稀疏信号的例子，大部分位置的值为零，只有少数几个位置有非零值。
信号的稀疏性是压缩感知的理论基础。一个信号如果在某个变换域中大部分系数为零或接近零，我们就说它是稀疏的。这里展示了一个时域信号，看起来很复杂，但在频域中只有少数几个频率分量有显著的幅值，这就是频域稀疏性。常见的稀疏基包括傅里叶基、小波基等，不同的信号在不同的基下可能表现出稀疏性。
测量矩阵的设计是压缩感知成功的关键。测量矩阵必须与信号的稀疏基不相关，并满足约束等距性质，以保持信号的几何结构。常用的测量矩阵包括高斯随机矩阵和伯努利随机矩阵等。测量过程可以表示为 y 等于 Φ 乘以 x，其中 Φ 是 M 乘 N 的测量矩阵，M 远小于 N，形成一个欠定线性系统。这种设计使得我们能够用很少的测量值来捕获信号的主要信息。
信号重建是压缩感知的核心步骤，目标是从少量测量值中恢复原始信号。这是一个L1范数最小化问题，约束条件是测量值等于测量矩阵乘以稀疏系数。主要的重建算法包括三类：凸优化方法如基追踪和LASSO，贪婪算法如正交匹配追踪，以及迭代阈值算法。重建过程分为四个步骤：从测量值开始，通过L1范数最小化求解稀疏解，最后重建出原始信号的近似。
压缩感知技术在众多领域都有重要应用。在医学成像中，它能显著减少MRI扫描时间和CT扫描的辐射剂量。在通信系统中，压缩感知用于认知无线电和信道估计。在图像处理领域，它可以实现高效的图像压缩和超分辨率重建。此外，压缩感知还广泛应用于地震勘探、天文观测和生物信号处理等领域。这项技术的主要优势包括减少数据采集时间、降低存储传输成本，以及提高整体系统效率。