视频字幕
导数是微积分中最重要的概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。导数的定义是：f'(x)等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限。这个定义是所有常用函数导数推导的基础。图中显示了当h逐渐减小时，割线斜率如何趋近于切线斜率，这就是导数的几何意义。
现在我们来推导两个最基本的函数的导数。首先是常数函数f(x)等于c。根据导数定义，f'(x)等于当h趋近于0时，c减去c除以h的极限，这等于0除以h的极限，结果为0。这说明常数函数的导数恒为0。接下来是幂函数f(x)等于x的n次方。通过二项式展开和极限运算，可以得到幂函数的导数公式：f'(x)等于n乘以x的n减1次方。
接下来推导指数函数和对数函数的导数。对于指数函数f(x)等于e的x次方，根据导数定义，我们有f'(x)等于当h趋近于0时，e的x加h次方减去e的x次方除以h的极限。通过因式分解得到e的x次方乘以当h趋近于0时e的h次方减1除以h的极限。利用重要极限，这个极限等于1，所以指数函数的导数就是它本身。对于对数函数f(x)等于ln x，通过类似的推导和换元，最终得到其导数为1除以x。
现在推导三角函数的导数。对于正弦函数f(x)等于sin x，根据导数定义，我们需要计算当h趋近于0时，sin(x+h)减去sin x除以h的极限。利用三角恒等式和差化积公式，可以将其转化为余弦函数乘以一个重要极限。由于当t趋近于0时，sin t除以t的极限等于1，所以正弦函数的导数是余弦函数。类似地，余弦函数的导数是负的正弦函数。这两个结果体现了三角函数导数的周期性和相互转化关系。
通过前面的推导，我们得到了所有常用函数的导数公式。常数的导数为0，幂函数x的n次方的导数为n倍x的n减1次方，指数函数e的x次方的导数是它本身，对数函数ln x的导数是1除以x，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。这些基本导数公式是微积分学习的重要基础，掌握了它们的推导过程，有助于深入理解导数的本质和应用。