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这是一道关于指数函数切线的问题。当 a 等于 1 时，函数变为 f(x) = e^x - x - 1。我们需要求出在点 (1, f(1)) 处的切线方程。首先计算函数值 f(1) = e - 2，然后求导数 f'(x) = e^x - 1，得到切线斜率 f'(1) = e - 1。利用点斜式可得切线方程为 y = (e-1)x - 1。
现在我们分析函数的单调性。对函数求导得到 f'(x) = e^x - a。当 a 小于等于 0 时，由于指数函数恒为正，导数恒大于 0，函数在实数轴上单调递增，没有极小值。当 a 大于 0 时，令导数等于 0，得到 e^x = a，解得 x = ln a。这是函数的临界点。
当 a 大于 0 时，函数在 x = ln a 处取得极小值。我们计算这个极小值：f(ln a) = a - a·ln a - a³。要使极小值小于 0，需要 a(1 - ln a - a²) < 0。由于 a 大于 0，所以需要 1 - ln a - a² < 0，即 a² + ln a - 1 > 0。
我们设辅助函数 g(a) = a² + ln a - 1。对其求导得 g'(a) = 2a + 1/a，当 a 大于 0 时恒为正，所以 g(a) 在正实数轴上单调递增。计算 g(1) = 0，由于函数单调递增，当 a 大于 1 时 g(a) 大于 0，当 a 小于 1 时 g(a) 小于 0。
现在我们总结这道题的完整解答。第一问：当 a 等于 1 时，切线方程为 y = (e-1)x - 1。第二问：若函数有极小值且极小值小于 0，通过分析辅助函数 g(a) = a² + ln a - 1 的性质，我们得出 a 的取值范围是 (1, +∞)。这道题综合考查了导数的几何意义、函数的单调性和极值问题。