视频字幕
动态规划是计算机科学中的一种重要算法设计技术。它通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而高效地求解最优化问题。动态规划的核心在于识别问题的最优子结构和重叠子问题特性。
以斐波那契数列为例来理解动态规划。传统递归方法会重复计算相同的子问题，导致指数级时间复杂度。而动态规划通过建立一个表格存储已计算的结果，避免重复计算，将时间复杂度降低到线性级别。这就是动态规划解决重叠子问题的核心思想。
背包问题是动态规划的经典应用。在零一背包问题中，我们需要在有限容量下选择物品以获得最大价值。通过定义状态和建立状态转移方程，我们可以构建一个二维表格来存储子问题的解。每个格子代表在特定容量限制下考虑前若干个物品能获得的最大价值。
最长公共子序列问题是另一个经典的动态规划应用。给定两个字符串，我们需要找到它们的最长公共子序列。通过构建二维表格，我们可以逐步计算每个位置的最优解。当字符匹配时，长度加一；否则取上方或左方的最大值。最终右下角的值就是最长公共子序列的长度。
动态规划是一种强大的算法设计技术，通过识别最优子结构、定义状态转移方程、确定边界条件和选择合适的计算顺序，可以将指数级复杂度的问题优化到多项式时间。它在算法优化、路径规划、资源分配等多个领域都有重要应用，是每个程序员都应该掌握的核心算法思想。