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中心极限定理是概率论和统计学中最重要的定理之一。它告诉我们一个令人惊讶的事实：无论原始数据的分布是什么样子，当我们从中抽取足够大的样本并计算样本均值时，这些样本均值的分布总是会趋近于正态分布。这个定理为统计推断提供了理论基础。
中心极限定理有三个重要的前提条件。首先，样本必须是独立同分布的随机变量，也就是说每个观测值都是独立抽取的，且来自同一个总体分布。其次，样本量要足够大，通常认为样本量大于等于30时效果较好。最后，总体的均值和方差必须存在且有限。在这些条件下，样本均值的分布会趋近于正态分布，其均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本量。
让我们通过动画来观察样本量对分布形状的影响。当样本量等于1时，样本均值的分布与原始分布完全相同。随着样本量增加到5，分布开始向正态分布靠拢。当样本量达到30时，分布已经明显呈现正态分布的钟形曲线。同时要注意，随着样本量增加，分布的方差会减小，这意味着样本均值会更加集中在总体均值附近。
中心极限定理最令人惊讶的地方在于，它对原始分布的形状没有任何要求。无论我们从均匀分布、指数分布、偏态分布，还是双峰分布中抽样，只要样本量足够大，样本均值的分布都会收敛到正态分布。这种普遍性使得中心极限定理成为统计学中最重要的定理之一，为我们在不知道总体分布的情况下进行统计推断提供了理论基础。
中心极限定理在实际应用中具有广泛的价值。它是构建置信区间和进行假设检验的理论基础。在质量控制中，我们可以用它来监控生产过程；在民意调查中，它帮助我们从样本推断总体；在金融领域，它用于风险评估和投资组合管理；在医学研究中，它支持临床试验的统计分析。正是因为中心极限定理，我们才能在不完全了解总体分布的情况下，进行可靠的统计推断。