1. 椭圆 \( E : \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1 \) 与曲线 \( H : {xy} = k \) 在第一象限内交于 \( P,Q \) 两点,则直线 \( {PQ} \) 的斜率 为( ) A. \( - \frac{3}{4} \) B. \( - \frac{4}{3} \) C. \( - \frac{2\sqrt{3}}{3} \) D. \( - \frac{\sqrt{3}}{2} \) 【答案】 \( \mathrm{D} \) 【分析】设 \( P\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,Q\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) ,则直线 \( {PQ} \) 的斜率 \( {k}_{PQ} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{\frac{k}{{x}_{2}} - \frac{k}{{x}_{1}}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{k}{{x}_{1}{x}_{2}} \) 将 \( {xy} = k \) 与 \( \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1 \) 联立,利用韦达定理即可求解. 【详解】不妨设 \( P\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,Q\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \left( {0 < {x}_{1} < {x}_{2}}\right) \) , 则直线 \( {PQ} \) 的斜率 \( {k}_{PQ} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{\frac{k}{{x}_{2}} - \frac{k}{{x}_{1}}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{k}{{x}_{1}{x}_{2}} \) 将 \( {xy} = k \) 与 \( \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1 \) 联立,得 \( \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{k}^{2}}{3{x}^{2}} = 1 \) ,即 \( 3{x}^{4} - {12}{x}^{2} + 4{k}^{2} = 0 \) , 由韦达定理得 \( {\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{2} = \frac{4{k}^{2}}{3} \) ,所以 \( {k}_{PQ}^{2} = \frac{{k}^{2}}{{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{2}} = \frac{3}{4} \) ,又 \( {k}_{PQ} < 0 \) , 所以 \( {k}_{PQ} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \) , 故选：D. 请你结合以上的试题内容和答案 生成 数学试题的可视化讲解 1、注意图像放在右侧 解题步骤在左侧 （注意左右的画面同步 也及时讲解步骤和 图像内容要同步） 2、注意左侧解题步骤布局问题 不要重叠显示 以及超出视频范围 3、视频请使用黑色为背景图 白色为文字显示