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离散型随机变量是概率论中的重要概念。它是指取值为有限个或可列无限个的随机变量。比如投掷一枚骰子，结果可能是1到6中的任意一个数字，这就是一个典型的离散型随机变量。分布列完整地描述了随机变量取每个可能值的概率，而数字特征则用少数几个常数来概括随机变量的整体性质。
分布列是离散型随机变量的核心概念。对于随机变量X，如果它的所有可能取值为x1到xn，对应的概率分别为p1到pn，那么我们可以用表格的形式来表示这个分布列。分布列必须满足两个基本性质：第一，每个概率都是非负的；第二，所有概率的和等于1。以投掷骰子为例，随机变量X可以取1到6这六个值，每个值的概率都是六分之一。
期望是离散型随机变量最重要的数字特征之一。它表示随机变量的平均取值，反映了随机变量取值的中心位置。期望的计算公式是所有可能取值与其对应概率的乘积之和。以投掷骰子为例，期望值等于1乘以六分之一，加上2乘以六分之一，一直加到6乘以六分之一，最终结果是3.5。这意味着如果我们多次投掷骰子，平均结果会趋向于3.5。
方差是衡量随机变量离散程度的重要指标。它表示随机变量取值在期望附近的分散程度。方差的定义是随机变量与其期望差的平方的期望值。在实际计算中，我们常用公式：方差等于X平方的期望减去期望的平方。标准差是方差的算术平方根，它与随机变量有相同的量纲，更容易理解。对于投掷骰子的例子，通过计算可得方差约为2.92，标准差约为1.71。
通过本次学习，我们全面了解了离散型随机变量的分布列与数字特征。分布列完整地描述了随机变量的概率分布，而数字特征则用少数几个常数来概括随机变量的重要性质。期望反映平均水平，方差和标准差衡量离散程度。这些概念不仅是概率论的基础，在质量控制、金融风险评估、保险精算、市场调研和医学统计等领域都有广泛应用。掌握这些知识对于理解和分析随机现象具有重要意义。