请用中文解答---**Extracted Content:**
如图 15，在平面直角坐标系中，抛物线 C: y = ax² - 2ax - 3a 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B.
(1) 求点 A 的坐标.
(2) 当 OB = OA 时，
①求抛物线 C 的解析式；
②连接 BA, M 是抛物线 C 在第一象限部分上的动点，过点 M 作 MN ⊥ BA 于点 N. 当 MN 的长度最大时，求点 M 横坐标的值.
(3) 在(2)的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为 2 的线段 PQ，且 PQ∥x 轴，点 Q 在点 P(-4, -1)的右侧. 若线段 PQ 沿着 x 轴方向向右平移，并设平移距离为 d (d>0).
①若抛物线 C 与线段 PQ 有公共点，求 d 的取值范围；
②若抛物线 C 与线段 PQ 没有公共点，直接写出 d 的取值范围.
图 15
**Chart/Diagram Description:**
* **Type:** Coordinate Plane with a parabola and a line segment.
* **Coordinate Axes:** X-axis and Y-axis are perpendicular, intersecting at the origin O. The positive directions of X and Y axes are indicated by arrows.
* **Parabola:** A downward-opening parabola labeled C. It intersects the positive X-axis at point A and the positive Y-axis at point B. The vertex of the parabola is in the first quadrant.
* **Points:**
* O: The origin (0, 0).
* A: A point on the positive X-axis, where the parabola intersects.
* B: A point on the positive Y-axis, where the parabola intersects.
* P and Q: Two points on a horizontal line segment PQ. The line segment PQ is shown to the left of the Y-axis, parallel to the X-axis. Point Q is to the right of point P. There is a label showing the length of PQ.
* **Line Segment:** A horizontal line segment labeled PQ, with length 2. It is parallel to the X-axis. An arrow indicates that PQ is being translated to the right.
* **Labels and Annotations:**
* "y" and "x" labels for the axes.
* Points A, B, O, P, Q are labeled.
* "图 15" (Figure 15) is below the graph.
* The length of PQ is indicated as 2.
* Point P is labeled with coordinates (-4, -1). The description indicates Q is to the right of P.
* The translation distance is labeled as d (d>0).
视频信息
答案文本
视频字幕
我们来解决这道关于抛物线与坐标轴交点的问题。题目给出抛物线方程为 y = ax² - 2ax - 3a，它与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B。首先求点 A 的坐标。点 A 是抛物线与 x 轴的交点，所以 y = 0。将 y = 0 代入方程得到 ax² - 2ax - 3a = 0。因为 a 不等于 0，两边同除以 a 得到 x² - 2x - 3 = 0。
通过因式分解，我们得到 (x - 3)(x + 1) = 0，解得 x = 3 或 x = -1。由于点A在x轴正半轴上，所以x坐标必须为正数，因此 x = 3。所以点A的坐标为 (3, 0)。我们可以在图中看到，抛物线确实与x轴在点(3, 0)和点(-1, 0)相交，但只有(3, 0)在正半轴上。
现在解决第二问的第一小题。当 OB 等于 OA 时，求抛物线的解析式。由第一问我们知道 OA 等于 3。点B是抛物线与y轴正半轴的交点，令 x 等于 0，得到 y 等于负3a。所以点B的坐标为 (0, -3a)，且由于B在正半轴上，所以负3a大于0，即a小于0。因此 OB 等于负3a。根据条件 OB 等于 OA，我们有负3a等于3，解得a等于负1。将a等于负1代入原方程，得到抛物线的解析式为 y = -x² + 2x + 3。
现在解决第二小题。M是抛物线在第一象限部分上的动点，过点M作MN垂直于BA。要求MN长度最大时点M的横坐标。首先求直线BA的方程，斜率为负1，过点B(0,3)，所以方程为 x + y - 3 = 0。设M的坐标为(x, -x² + 2x + 3)，其中0小于x小于3。点M到直线BA的距离就是MN的长度，等于 (-x² + 3x) 除以根号2。要使MN最大，需要二次函数 -x² + 3x 取最大值。这个函数的对称轴是 x = 3/2，所以当x等于3/2时，MN达到最大值。
最后解决第三问关于线段平移的问题。线段PQ长度为2，P点坐标为(-4, -1)，Q点坐标为(-2, -1)。线段向右平移距离d后，变为P'Q'。要判断抛物线与线段是否有公共点，需要找到抛物线与直线y等于负1的交点。解方程得到交点横坐标为1加减根号5。当线段P'Q'包含这些交点时，就有公共点。通过计算可得，有公共点时d的取值范围是两个区间的并集，无公共点时是其余范围。