畢氏定理，也稱為勾股定理，是數學中最著名的定理之一。它適用於直角三角形，描述了三條邊之間的重要關係。在直角三角形中，我們有兩條直角邊a和b，以及斜邊c。
畢氏定理的數學表達式是 a 的平方加 b 的平方等於 c 的平方。這裡 a 和 b 是直角三角形的兩條直角邊，c 是斜邊，也就是最長的那條邊。我們可以用正方形來視覺化這個關係：以每條邊為邊長構造正方形，兩個小正方形的面積之和等於大正方形的面積。
讓我們用一個經典例題來演示畢氏定理的應用。已知一個直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，我們要求斜邊的長度。根據畢氏定理，c的平方等於a的平方加b的平方。代入數值：c的平方等於3的平方加4的平方，也就是9加16等於25。因此c等於25的平方根，也就是5。這就是著名的3-4-5直角三角形。
現在讓我們看看畢氏定理的一個經典證明。我們構造一個邊長為a加b的大正方形，裡面包含一個邊長為c的小正方形和四個直角三角形。大正方形的面積等於小正方形的面積加上四個三角形的面積。展開後我們得到a的平方加2ab加b的平方等於c的平方加2ab。消去兩邊的2ab，就得到了畢氏定理：a的平方加b的平方等於c的平方。
畢氏定理在現實生活中有廣泛的應用。在建築工程中用於測量，在導航系統中計算距離，在計算機圖形學中處理座標。例如，計算平面上兩點間的距離就是畢氏定理的直接應用。從點A(1,2)到點B(4,6)，我們可以構造一個直角三角形，水平距離是3，垂直距離是4，根據畢氏定理，斜邊長度就是兩點間的距離，等於5。這就是距離公式的幾何意義。