解答---**Question Number:** 14. **Instruction:** 先化简，再求值：(Simplify first, then evaluate) **Expression:** $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} + \frac{x+y-2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ **Condition:** $(x > y)$ **Given Values:** 其中 $x=1$, $y=\frac{1}{2}$. **Other Text:** 解：(Solution:)

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我们需要化简这个分式表达式。表达式包含两个分式相加，第一个分式的分子是x减y，分母是根号x加根号y。第二个分式的分子是x加y减2倍根号xy，分母是根号x减根号y。我们需要先化简这个表达式，然后代入x等于1，y等于二分之一求值。 现在我们化简第一个分式。注意到分子x减y可以写成根号x的平方减去根号y的平方。利用平方差公式，a的平方减b的平方等于a减b乘以a加b，我们可以将分子因式分解为根号x减根号y乘以根号x加根号y。这样分子分母都有根号x加根号y这一项，可以约去，最终得到根号x减根号y。 接下来化简第二个分式。分子x加y减2倍根号xy可以写成根号x的平方加根号y的平方减2倍根号x乘根号y。这正好符合完全平方公式的形式，a的平方减2ab加b的平方等于a减b的平方。所以分子可以写成根号x减根号y的平方。这样分子分母都有根号x减根号y这一项，约去后同样得到根号x减根号y。 现在我们将两个化简后的结果相加。第一个分式化简为根号x减根号y，第二个分式也化简为根号x减根号y，所以原表达式等于2倍的根号x减根号y。接下来代入给定的值，x等于1，y等于二分之一。根号1等于1，根号二分之一等于根号2除以2。所以结果是2乘以1减根号2除以2，等于2减根号2。 让我们回顾一下整个解题过程。首先，我们利用平方差公式将第一个分式化简为根号x减根号y。然后，利用完全平方公式将第二个分式也化简为根号x减根号y。接着将两个结果相加得到2倍的根号x减根号y。最后代入x等于1，y等于二分之一，计算得到最终答案2减根号2。这道题的关键是识别并正确运用平方差公式和完全平方公式。