这道题如何解---已知函数 f(x) = ln(x / (2 - x)) + ax + b(x - 1)^3. (1) 若 b=0, 且 f'(x) ≥ 0, 求 a 的最小值; (2) 证明: 曲线 y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x) > -2 当且仅当 1 < x < 2, 求 b 的取值范围.

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这是一道关于函数分析的综合题。给定函数f(x)等于ln(x除以2减x)加ax加b乘以x减1的三次方。首先我们需要确定函数的定义域。要求x除以2减x大于0，解得0小于x小于2。接下来我们将逐步分析三个子问题，涉及导数分析、对称性证明和不等式求解。 现在解决第一问。当b等于0时，函数变为f(x)等于ln(x除以2减x)加ax。对函数求导得到f'(x)等于2除以x乘以2减x再加a。题目要求f'(x)大于等于0恒成立，即a大于等于负2除以x乘以2减x。要使这个不等式对所有x都成立，a必须大于等于负2除以x乘以2减x的最大值。通过分析可知，当x等于1时，x乘以2减x取得最大值1，因此负2除以x乘以2减x的最大值为负2。所以a的最小值为负2。 现在证明第二问，曲线是中心对称图形。我们猜测对称中心为点(1,a)，其中a是f(1)的值。要证明中心对称，需要证明对任意x，都有f(x)加f(2减x)等于2a。我们设x等于1加h，则2减x等于1减h。计算f(1加h)加f(1减h)，通过对数运算法则，ln((1加h)除以(1减h))加ln((1减h)除以(1加h))等于ln(1)等于0，而线性项和三次项也会相互抵消，最终得到2a。因此曲线确实关于点(1,a)中心对称。 现在解决第三问。条件"f(x)大于负2当且仅当1小于x小于2"告诉我们，当x等于1时f(1)等于负2，结合第二问的结果，我们得到a等于负2。此外，函数必须在定义域上严格单调递增。对函数求导并要求导数大于等于0恒成立，我们得到3b必须大于等于负2除以x乘以2减x的最大值，即负2。因此b大于等于负三分之二。当b等于负三分之二时，函数刚好满足条件；当b大于负三分之二时，函数更加陡峭但仍满足条件。所以b的取值范围是负三分之二到正无穷。 让我们总结一下这道函数分析题的完整解答。第一问通过导数分析，当b等于0时，要使f'(x)大于等于0恒成立，a的最小值为负2。第二问通过巧妙的代数变换，证明了曲线关于点(1,a)中心对称。第三问结合前两问的结果，通过单调性分析得出b的取值范围为负三分之二到正无穷。这道题综合运用了导数、对称性和不等式等多个知识点，是一道很好的综合性题目。掌握这些解题技巧对解决类似问题很有帮助。