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我们来分析这个问题。给定函数 f(x) = 2x² + ax + b，当 a = 0 时，函数简化为 f(x) = 2x² + b。这是一个开口向上的抛物线，顶点在 (0, b)。我们需要在区间 [-1, 1] 上找到 |f(x)| 的最大值 M(0,b) 的最小值。
现在我们来确定函数的取值范围。当 a = 0 时，f(x) = 2x²+ b。在区间 [-1, 1] 上，2x² 的最小值是 0（在 x = 0 处），最大值是 2（在 x = ±1 处）。因此，f(x) = 2x² + b 的取值范围是 [b, 2+b]。
现在我们建立 M(0,b) 的表达式。由于 f(x) 的取值范围是 [b, 2+b]，所以 |f(x)| 的最大值就是 max(|b|, |2+b|)。我们可以画出这两个函数的图像，绿色曲线表示它们的最大值函数 M(0,b)。
现在我们求解最小值。要使 M(0,b) 最小，需要 |b| = |2+b|。解这个方程得到 b = -1。当 b = -1 时，M(0,-1) = max(1, 1) = 1。这就是 M(0,b) 的最小值。从图像上可以看到，在 b = -1 处，两条曲线相交，此时 M(0,b) 达到最小值 1。
最后我们验证结论。当 b = -1 时，f(x) = 2x² - 1。在区间 [-1, 1] 上，f(-1) = 1，f(0) = -1，f(1) = 1。因此 |f(x)| 的最大值确实是 1。所以 M(0,b) 的最小值是 1。