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我们来分析一个函数问题。已知函数 f(x) = ax² - ax - x ln x，且对所有正数 x 都有 f(x) ≥ 0。我们需要求出参数 a 的值，并证明函数存在唯一极大值点，且该极大值在特定范围内。
首先分析函数的性质来确定参数a。函数的定义域是所有正数。当x趋向于0时，f(x)趋向于0。为了保证f(x)非负，我们需要a大于0。关键观察是f(1)等于0，这提示x=1可能是一个临界点。计算导数并令f'(1)等于0，我们得到a等于1。
现在验证a等于1时函数的性质。当a等于1时，f(x)等于x²减x减x乘以ln x。计算一阶导数和二阶导数，我们发现f''(x)在x等于二分之一处为零，这是f'(x)的极值点。由于f'(1/2)小于零而f'(1)等于零，根据连续性，f'(x)在区间(0, 1/2)内必有一个零点x₀。
现在证明f(x)存在唯一极大值点x₀。由于f'(x₀)等于零，我们有ln x₀等于2x₀减2。将此关系代入f(x₀)的表达式，经过化简得到f(x₀)等于x₀乘以(1减x₀)。通过分析f'(x)在关键点的符号，我们确定x₀在区间(e⁻², 1/2)内，因此f(x₀)的值在e⁻²和1/4之间。
总结完整解答。问题1的答案是a等于1。问题2我们成功证明了f(x)存在唯一极大值点x₀，且该点位于区间(e⁻², 1/2)内，极大值f(x₀)满足e⁻²小于f(x₀)小于四分之一。整个证明过程运用了导数分析、函数单调性研究和边界值估计等重要数学方法。