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这是一道关于三次函数单调性和极值的综合题目。给定函数f(x)等于x的三次方减去3ax的平方加上3倍的a平方减1乘以x再加1，其中a是实数参数。我们需要分析这个函数的性质，包括单调区间、极值存在条件和切线方程。首先我们求出函数的导数，然后进行因式分解。
现在我们来解决第一个问题，讨论函数的单调区间。首先对函数求导，得到f撇x等于3x平方减6ax加3倍a平方减1。提取公因子3，得到3倍括号x平方减2ax加a平方减1。这个二次式可以因式分解为3倍括号x减括号a减1乘以括号x减括号a加1。令导数等于零，得到两个零点：x1等于a减1，x2等于a加1。分析导数符号可知，当x小于a减1或大于a加1时导数大于零，函数单调递增；当a减1小于x小于a加1时导数小于零，函数单调递减。
现在解决第二个问题。函数在区间1到2上存在极值，意味着至少有一个极值点落在闭区间1到2内。我们已知极值点为x等于a减1和x等于a加1。因此需要满足a减1属于区间1到2，或者a加1属于区间1到2。对于情况1，如果1小于等于a减1小于等于2，那么2小于等于a小于等于3。对于情况2，如果1小于等于a加1小于等于2，那么0小于等于a小于等于1。综合两种情况，实数a的取值范围是0到1的闭区间并上2到3的闭区间。
现在解决第三个问题。当a等于1时，函数变为f(x)等于x的三次方减3x的平方加1。对应的导数为f撇x等于3x平方减6x，可以因式分解为3x乘以括号x减2。在x等于0处，函数值f(0)等于1，导数值f撇(0)等于0。因此切线方程为y减1等于0乘以括号x减0，即y等于1。为了判断x等于0是极大值点还是极小值点，我们计算二阶导数。f双撇x等于6x减6，在x等于0处f双撇(0)等于负6小于0，因此x等于0是极大值点。
让我们总结一下这道题的完整答案。第一问，函数的单调递增区间为负无穷到a减1的开区间，并上a加1到正无穷的开区间；单调递减区间为a减1到a加1的开区间。第二问，实数a的取值范围是0到1的闭区间并上2到3的闭区间。第三问，当a等于1时，函数在x等于0处的切线方程为y等于1，该点是极大值点。这道题综合考查了三次函数的导数应用，包括利用导数研究函数单调性、极值点的存在性条件、切线方程的求解方法以及极值点的判断方法，是一道很好的综合性题目。