这个题怎么做---已知函数 $f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3$. ( i ) 若 $b=0$，且 $f'(x) \ge 0$，求 $a$ 的最小值； ( ii ) 证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形； ( iii ) 若 $f(x) > -2$ 当且仅当 $1

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一道关于函数分析的综合题。给定函数 f(x) = ln(x/(2-x)) + ax + b(x-1)³，需要分三个部分来解决。首先确定函数的定义域为 (0,2)，因为要求 x/(2-x) > 0。接下来我们将逐步分析每个问题的解法。 现在解决第一个问题。当 b 等于 0 时，函数变为 f(x) = ln(x/(2-x)) + ax。对其求导得到 f'(x) = 1/x + 1/(2-x) + a，化简为 2/(x(2-x)) + a。要使 f'(x) 大于等于 0 对所有 x 在 (0,2) 内成立，需要 a 大于等于负的 2/(x(2-x))。由于 x(2-x) 在 x=1 时取最大值 1，所以 2/(x(2-x)) 的最小值为 2，因此 a 的最小值为负 2。 现在证明第二个问题：曲线 y=f(x) 是中心对称图形。要证明曲线关于点 (1,a) 中心对称，需要验证 f(1+h) + f(1-h) = 2a。通过计算 f(1+h) 和 f(1-h)，我们发现对数项相互抵消，三次项也相互抵消，只剩下 2a。这证明了曲线确实关于点 (1,a) 中心对称。 最后解决第三个问题。条件是 f(x) 大于负2当且仅当 1小于x小于2。通过分析边界条件，我们确定 a 等于负2。令 F(x) = f(x) + 2，问题转化为 F(x) 大于0当且仅当 1小于x小于2。通过求导分析，要求 F'(x) 大于等于0且仅在 x=1 处为0，这需要 b 大于等于负三分之二。因此 b 的取值范围是负三分之二到正无穷。 通过以上分析，我们完整解决了这道函数综合题。第一问通过导数分析得到 a 的最小值为负2；第二问利用代数计算证明了函数的中心对称性；第三问结合边界条件和单调性分析，确定了 b 的取值范围。这类题目综合考查了导数、对称性、不等式等多个知识点，是函数分析的典型应用。